當然，如果當事人的行為違反了《中華人民共和國治安管理處罰法》，公安機關可以酌情給予警告、罰款、治安拘留等處罰。從妳介紹的情況來看，雙方發生了爭鬥，但造成的傷害不大，可能不構成治安處罰的條件。
關於辦理時限，如果不能形成治安案件，辦案民警會及時通知妳不予立案。立案的，《治安管理處罰法》第九十九條規定:“公安機關辦理治安案件的期限，自受理之日起，不得超過三十日；案情重大復雜的，經上壹級公安機關批準，可以延長三十日。”也就是壹般30天內結案，最多可以再延長30天。
如果雙方在搶奪過程中造成對方損害，可以根據責任大小，分攤由此產生的醫療費用。