和差問題
說到“和而不同的問題”，小學高年級的人都會說:“我會！”和差問題的計算太簡單了。是的，知道兩個數的和與差，求兩個數，有壹個計算公式:
大數=(和+差)÷2
小數=(和差)÷2
會計算，還能靈活運用，把壹些應用問題變成和差問題來計算。
我們先來看幾個簡單的例子。
例1，張明期末考試時，語文和數學平均分95，數學比語文多8分。張明這兩門課的分數是多少？
解法:95乘以2是數學和語文的分數之和，我們知道數學和語文的分數之差是8。因此，
數學成績=(95×2+8)÷2=99。
語文成績=(95×2-8)÷2=91。
答案:張明數學99分，語文91分。
註:語文成績也可以從95×2-99=91算出。
例2，有A，B，C三個數，A加B等於252，B加C等於197，C加A等於149。找出這三個數字。
解:從B+C=197和A+C=149，我們知道B和A的差是197-149，題目告訴我們B和A之和是252。因此，
b =(252+197-149)÷2 = 150
A=252-150=102，
C=149-102=47。
A:號碼A、B、C分別是102、150、47。
註意:還有壹個更簡單的方法。
(A+B)+(B+C)+(C+A)=2×(A+B+C)。
上面的公式表明，三個數相加，再除以二，就是三個數之和。
a+B+C =(252+197+149)÷2 = 299。因此，
C=299-252=47，
B=299-149=150，
A=299-197=102。
例3:筐A和筐B裝有75公斤蘋果，從筐A中取出5公斤蘋果放入筐B，筐A中的蘋果比筐B中的蘋果多7公斤，筐A和筐B中分別有多少公斤？
解決方法:畫壹個簡單的原理圖，
可以看到籃子A裏的蘋果比籃子b裏的多。
5+7+5=17(公斤)
所以A和B之和是75，差是17。
籃子裏蘋果的數量=(75+17)÷2=46 (kg)。
籃子B中蘋果的數量=75-46=29(公斤)。
A:籃子A裏有46公斤蘋果，籃子b裏有29公斤.
例4:張強用270元買了壹件外套，壹頂帽子，壹雙鞋。外套比鞋子貴140元，外套和鞋子比帽子貴210元。張強買這雙鞋花了多少錢？
解決方法:讓我們把外套和鞋子看成壹件事。外套和帽子的價格之和是270元，差額是265，438+00元。
外套和鞋子價格之和=(270+210)÷2=240(元)。
外套價格和鞋子價格的差額是140，所以
鞋子價格=(240-140)÷2=50(人民幣)。
回答:買這雙鞋，50元。
再舉三個比較復雜的例子。如果妳能像下面的解法壹樣計算，妳就可以說妳已經能靈活運用和差問題的解法了。
例5:李大爺下午3點要上班。他估計差不多該上班了。他去屋裏看鐘，鐘早停了12: 08+00。他匆忙離開家，看了看工廠的鐘。上班前還是10分鐘。晚上是165438+。
解決方法:到了工廠看到時鐘是2: 50，離開家的時候是12: 00，相差2小時40分，是停鐘時間和走在路上的時間造成的。
時鐘停止的時間+花在路上的時間=160(分鐘)。
晚上下班，廠裏的鐘是11點，回到家是9點，相差2個小時。這是因為時鐘停止的時間有壹部分被花在回家路上的時間抵消了。
因此
時鐘停止的時間-花在路上的時間=120(分鐘)。
現在問題已經轉化為標準的和差問題。
時鐘停止時間=(160+120)÷2 = 140(分鐘)。
花在路上的時間=160-140=20(分鐘)。
李叔叔的鐘停了2小時20分鐘。
還有壹個方案可以快速計算出李大爺在路上花的時間:
根據李大爺家的時鐘，他12出門，晚上9點到家，在外面***了8小時50分鐘，其中上班8小時，等下班10分鐘，剩下的時間就是他來回上班的時間，所以，
上班路上花的時間=(8小時50分鐘-8小時-10分鐘)÷2=20分鐘。
時鐘停止時間=2小時40分鐘-20分鐘
=2小時20分鐘。
例6:小明用21.4元買了兩種賀卡，壹種是A卡1.5元，壹種是B卡0.7元，錢剛好用完。但業務員把A的張數算成B的張數，B的張數算成A的張數，要求小明退回3.2元。
解決方法:A卡和B卡的差價是1.5-0.7=0.8(元)，業務員誤退給小明3.2元，明知小明買的A卡比B卡多3.2÷0.8=4(張).
現在有了兩種卡的區別。只要找到兩種卡的和，問題就解決了。怎麽找？請註意
1.5×A中的卡數+0.7×B中的卡數=21.4。
1.5× B卡號+0.7× A卡號=21.4-3.2。
從上面兩個公式可以看出，兩個卡號之和為
[21.4+(21.4-3.2)]⊙(1.5+0.7)= 18(張)。
因此，卡片的數量是
(18+4)÷2=11(張)。
b卡數量為18-11=7(卡)。
答:小明買了11張A卡，7張B卡。
註意:這個問題也可以用雞兔同籠的方法來做。請看下壹講。
例7:有兩個大小相同的矩形，組合成兩種大矩形，如右圖。大長方形(a)的周長是240厘米，大長方形(b)的周長是258厘米。原來長方形的長和寬是多少厘米？
解:大矩形(A)的周長就是原來的矩形。
長×2+寬× 4。
大矩形(B)的周長就是原來的矩形。
長×4+寬× 2。
所以240+258就是原來的矩形。
長× 6+寬×6。
原始矩形的長和寬之和為
(240+258)÷6=83(厘米)。
原始矩形的長度和寬度之差為
(258-240)÷2=9(厘米)。
因此，原始矩形的長和寬是
長度:(83+9)÷2=46(厘米)。
寬度:(83-9)÷2=37(厘米)。
答:原長方形長46厘米，寬37厘米。
多重問題
當兩個數的和或差已知，且兩個數的倍數關系已知時，這兩個數可以立即求解。小學算術中常見的“年齡問題”就是這類問題的典型。我們先來看幾個基本的例子。
例1，有兩堆棋子，第壹堆有87個，第二堆有69個。那麽從第壹堆取多少棋子到第二堆可以使第二堆的棋子數是第壹堆的三倍。
解:兩堆棋子有87+69=156個棋子。
為了使第二堆的棋子數是第壹堆的三倍，需要將156個棋子分成1+3=4個(棋子)，即每個棋子都有棋子。
156(1+3)= 39(個)。
第壹堆要留三十九塊，剩下的拿到第二堆。所以從第壹堆到第二堆的棋子數是
87-39=48(件)。
回答:第壹堆到第二堆妳要拿48塊。
例2:有兩個書架，有173本書。從壹樓拿走38本書後，二樓還有6本，是壹樓的兩倍。二樓有多少本書？
解決方案:我們繪制以下示意圖:
我們把壹樓剩下的書(拿走38本後)算作1本“冊”，那麽二樓的書就是2本，多了6本。然後去掉這6本書，也就是，
173-38-6=129(本)
正好三份，每份都是
129÷3=43(本)。
所以，二樓的書都是* * *
43×2+6=92(本)。
a:書架二層有92本書。
註:我們先設置“1份”，這樣計算就有了壹個非常方便的計算單位。這是解決應用問題的常用方法，尤其是針對多個問題。示意圖上顯示份數就更明顯了。
例3:某小學有975名學生。該校男生人數比六年級少4倍，23人，該校女生人數是六年級的3倍多，11人。學校裏有多少男孩和女孩？
解法:設六年級學生數為“1”。
有4 -23個男生。
女生人數是3 +11。
全校7個學生——(23-11)。
每份是(975+12)÷7 = 141(人)。
男生人數= 141×4-23 = 541(人)。
女生人數=975-541=434(人)。
答:男生541，女生434。
例2和例3是同壹類型的問題，但略有不同。請考慮壹下。“區別”在哪裏？
70雙皮鞋。這個時候皮鞋的數量剛好是旅遊鞋的兩倍。有多少雙鞋？
解:為了方便計算，原來的球鞋算4份，賣了1份，還剩3份。那麽原來的皮鞋加70雙後就是3×2=6(份)。400+70將是3+1+6=10(份)。每個副本都是
(400+70)÷10=47 (double)。
原球鞋47×4=188(雙)。
原單皮鞋47×6-70=212(雙)。
答:旅遊鞋188雙，皮鞋212雙。
設置整數份數，使計算簡單方便。小學算術，小數和分數要盡量四舍五入，讓思考和計算更簡單。所以“盡量四舍五入”會貫穿後面的章節。
下面的例子將是這壹節的主要內容——年齡問題。
年齡問題是小學算術中的常見問題，這類問題往往有壹個“倍數”的條件。解決年齡問題的關鍵點是兩個人的年齡差始終保持不變。
例4:父親50歲，女兒14歲。多少年前，我父親的年齡是我女兒的五倍？
解決方法:父女相差36歲，不變。幾年前差36歲。當父親的年齡正好是女兒的5倍時，父親仍然比女兒大36歲。這個36歲是女兒的(5-1)倍。
36÷(5-1)=9.
當時女兒9歲，14-9=5，也就是五年前。
五年前，我父親的年齡是我女兒的五倍。
例5:有兩個池子，壹個大池子，壹個小池子。大池子裏有300立方米的水，小池子裏有70立方米。現在兩個池子註入等量的水後，大池子的水是小池子的3倍。問每個水池註入多少立方米的水。
解決方法:繪制以下示意圖:
我們統計註入小水池的水量為1，註入大水池的水量為3。從圖中可以看出，由於註入兩個水池的水量相等，所以大水池(300-70)的水量為2。
所以每壹份都是
(300-70)÷2=115(立方米)。
註入的水量為
115-70=45(立方米)？
答:每個水池要裝滿45立方米的水。
例5和年齡問題壹模壹樣。“註水”相當於年齡問題中的“若幹年後”。
例6:兄弟倆的年齡加起來今年55。有壹年，哥哥的年齡和今年的弟弟壹樣。當時哥哥的年齡剛好是弟弟的兩倍。我弟弟今年多大了？
解:當哥哥的年齡正好是弟弟的兩倍時，我們假設弟弟的年齡是1，哥哥的年齡是2，那麽哥哥和弟弟的年齡差就是1。他們之間的年齡差不會變，今年他們的年齡差還是1。
題目還告訴我們，我弟當時的年齡和我弟今年的年齡壹樣，所以我弟今年的年齡也是2份，我弟今年的年齡應該是2+1=3(份)。
今年，兩兄弟的年齡之和是
3+2=5(份)
每份55÷5=11(歲)。
我哥今年的年齡是11×3=33(歲)。
答:我弟弟33歲。
作為本節的最後壹個例子，我們將稍微改變壹下年齡問題。
例7:父親38歲，母親36歲，兒子11歲。
多少年後，父母的年齡總和是兒子的4倍？
解:現在父母年齡之和是
38+36=74.
現在兒子年齡的4倍是11×4=44。不同的是。
74-44=30.
從四次考慮，每年的增長將是1×4=4，而父母年齡之和將是1+1=2。
為了趕上30的差距，有必要
30÷(4-2)=15(年)？
答:15後，父母年齡之和是兒子的4倍。
請用例6的解題思路解決練習2的問題7。也許妳完全可以掌握這種解題技巧。
請讀者思考壹下。例7中的解決方案與例5中的不同嗎？他們有什麽特點？
我們也可以用案例15的解法來解案例12。具體方法如下:
(14×5-50)÷(5-1)=5(年)。
但是需要註意的是，14×5大於50，所以是五年前的。
過剩和不足的問題
《九章算術》是中國古代最豐富多彩的書。在它的第七章中，討論了壹種剩余和不足，其中第壹種，用現代語言描述，是下面的例子。
例1，壹些人壹起買壹些東西，每個人出8元，這樣會多出3元；大家都出7塊錢，就少了4塊錢。那麽有多少人呢？價格是多少？
解決方法:“多3元”和“少4元”是有區別的
3+4=7(元)。
每個人多需要8-7=1(元)。
所以我們知道* * *有7÷1=7(人)，價格是
8×7-3=53(元)。
回答:* * * *七個人壹起買的，價格53元。
上面的3+4可以說是兩個總和的差，而8-7是每個副本的差。計算公式為
總差異÷每份差異=份數。
這類問題的內容有很多變化，形成壹類問題，我們壹般稱之為“過剩短缺”。請看更多的例子。
例2:給孩子壹袋糖，每人給10片，正好結束。如果每個人都拿到16片，三個孩子壹顆糖都拿不到。這個包裏有多少藥片？
方案壹:本來可以給三個孩子每人10片，有的* * *有10×3=30(片)。如果給其他孩子服用，每個孩子可以增加16-10=6(片)，所以其他孩子有。
10×3÷(16-10)= 5(人)。
加上這三個孩子，* * *有孩子5+3=8(人)。這袋糖果已經。
10×(5+3)=80(粒)。
方案二:如果再加16×3顆糖，大家都可以加(1-10)，這樣* * *就有孩子了。
16×3÷(16-10)= 8(人)？
這個包裏有80顆糖果。
這個包裏有80顆糖果。
這裏16×3是總差，(16-10)是每份的差，8是份數。
例3，壹個班的學生去劃船。他們計算出，如果增加壹艘船，每艘船只能容納六個人。如果減少壹艘船，每艘船只能坐9個人。這個班有多少學生？
解決方法:如果每條船坐六個人，就要再加壹條船，也就是現在有六個人沒船坐了；如果每條船坐九個人，可以減少壹條船，也就是多坐九個人的船。可乘船人數之差為6+9=15(人)。
這是由於每條船多了(9-6)個人，所以* * *有壹條船。
(6+9)÷(9-6)=5(篇)？
這個班有6×5+6=36名學生。
這個班有36名學生。
例4:小明從家裏去上學。如果他每分鐘走80米，他可以在上課前6分鐘到達學校。如果他每分鐘走50米，他將遲到三分鐘。小明的家離學校有多遠？
方案壹:以從家到班的時間為基準，將兩種不同速度行駛的距離與從家到學校的距離進行對比:如果每分鐘走80米，可以多走80×6米；每分鐘走50米，就會少走50×3(米)。請參見下面的示意圖:
因此，我們可以發現小明從家到教室的時間是
(80×6+50×3)÷(80-50)=21(分鐘)。
從家到學校的距離是
800×(21-6)=1200 (m)？
或者50×(21+3)=1200 (m)。
小明家到學校的距離是1200米。
方案二:以每分鐘80米步行回家到學校所需的時間作為思考的起點。
以每分鐘50米的速度，需要多使用6+3=9(分鐘)。這9分鐘走的50×9(米)正好彌補了前面走的少。因此，每分鐘80米所需的時間為
50×(6+3)÷(80-50)=15(分鐘)？
再看兩個比較復雜的例子。
例5:有的橘子分給幾個人，每個人五個橘子，多了10。如果人數增加三倍，仍然少了五個人，那麽每個人仍然少了八個橘子。有多少橘子？
解決方法:讓人覺得難的是條件“三倍於五人”。我們必須首先改變這種狀況。
假設有10個橘子，10 = 2×5，可以多5個人。暫且拋開“五少”這個條件，我們只考慮三倍的人數，相當於按照原來的人數給每人2×3=6(壹)。
每人給五個，給六個，總數不壹樣。
10+10+8=28(件)。
所以原來的人數是28÷(6-5)=28(人)。
橘子總數為5×28+10=150。
答:有150個橘子。
例6，有壹些蘋果和梨。如果按照每1個蘋果堆2個梨的話，分梨的時候還剩下5個蘋果。如果按照每3個蘋果5個梨來堆，蘋果分完還剩下5個梨。有多少蘋果和梨？
方案壹:我們假設多了10個梨，加上剩下的5個蘋果，都按照前面的“1個蘋果，2個梨”來分。根據後來的“3個蘋果5個梨”，蘋果的總數可以被3整除。所以前者可以分成壹大堆，每3堆可以組合。
每堆有三個蘋果，但是有1個梨(6-5=1)。梨的總數不壹樣。
想象壹下，加上10+剩余5 =15。
(10+5)÷(6-5)=15.
已知有15堆，蘋果總數為
15×3=45(個)。
梨的總數為(45-5)×2=80。
有45個蘋果和80個梨。
解決方案二:用圖解法。
前者分為堆，用1表示兩個梨，五個蘋果。
後壹種堆碼，只要加上三個蘋果，就可以和剩下的五個梨形成壹堆。梨算五個，蘋果正好三個。
對比上下圖可以看出，5+3=8(壹)就是下圖中的“半份”，即1就是16。梨是5，* *有16×5=80(壹)。蘋果有16。