民營醫療機構免稅三年的起始日期是稅務登記日期。具體而言，如果民營醫療機構在2020年1月1日前已經完成稅務登記，則其免稅期限從2020年1月1日起計算，持續三年；如果民營醫療機構在2020年1月1日之後完成稅務登記，則其免稅期限從其稅務登記日期起計算，持續三年。
需要說明的是，免稅政策僅適用於符合相關規定的民營醫療機構，並且免稅期限不超過三年。此外，免稅政策不包括增值稅，民營醫療機構仍需按照規定繳納增值稅。
綜上所述：民營醫療機構免稅三年的起始日期是稅務登記日期，持續時間為三年。但需要註意的是，免稅政策僅適用於符合相關規定的民營醫療機構，並且免稅期限不超過三年。此外，免稅政策並不包括增值稅。
法律依據：《中華人民***和國企業所得稅法》第三十四條規定：國家鼓勵和支持民營醫療機構的發展，對符合規定的民營醫療機構給予企業所得稅優惠政策。
《財政部、國家稅務總局關於支持新型冠狀病毒感染的肺炎疫情防控有關稅收政策的公告》（財稅〔2020〕8號）第五條規定：對參加新型冠狀病毒感染的肺炎疫情防控工作的民營醫療機構，自2020年1月1日至2022年12月31日，對其取得的與疫情防控相關的收入免征企業所得稅。對符合條件的民營醫療機構提供的醫療服務免征增值稅。