(1)陳某與某公司解除勞動關系。根據說明，勞動合同到期後，陳某仍在公司工作，公司並未主動與陳某解除勞動關系。根據《中華人民共和國勞動法》的規定，不續訂或者終止勞動合同，勞動合同將進入無固定期限狀態，雙方繼續履行勞動關系。因此，由於公司未及時解除勞動關系，陳某在公司工作時，其勞動關系即視為終止。
(2)公司應向陳某支付五個月的工資作為經濟補償。根據《中華人民共和國勞動法》第四十四條規定，用人單位與勞動者解除勞動合同的，勞動者有權獲得經濟補償。第四十六條明確規定了經濟補償金的計算標準:按照職工在本單位工作年限的1至3倍支付相應的月工資作為補償。根據您提供的信息，陳某的勞動合同期限為2005年1至2009年6月30日，公司於2009年8月28日提出與陳某解除勞動關系。因此，從2009年6月30日勞動合同到期，到2009年8月28日公司提出解除勞動關系，* * *有兩個月的工資應當作為經濟補償金計算。
內容提要:陳某與某公司解除勞動關系，公司應向陳某支付5個月的工資作為經濟補償。這是根據《中華人民共和國勞動法》的規定和妳提供的相關資料。如果雙方對仲裁結果都不滿意，可以進壹步尋求法院的裁決。同時，建議您咨詢專業的勞動法律師或相關勞動爭議處理機構，獲得更具體、個性化的法律建議。