阿基米德曾經想到壹個辦法。他事先在尺子上寫了壹個小p,使尺子的壹個端點為c,對於任意壹個角,以該角的頂點O為圓心,以CP的長度為半徑,畫壹個半圓,使半圓的兩邊相交於A點和b點.
然後,阿基米德移動尺子,使C點在AO的延長線上移動,P點在圓周上移動。當尺子剛剛通過B點時,它停止移動,連接了CPB的三個點。
然後阿基米德沿著直線CPB平行移動尺子,這樣C點移動到O點,做了壹條直線OD。可以證實,AOD正好是原始角度AOB的三分之壹。也就是說,阿基米德把壹個角分成了三等份。
但是,人們不承認阿基米德解決了三分角問題。為什麽不呢?原因很簡單。阿基米德事先在尺子上做了壹個標記p,這樣尺子實際上就有了刻度的作用。這是壹個不被允許的“犯規”動作,因為古希臘人在尺子畫法中規定尺子上不能有刻度,尺子和指南針都只允許有限次數的使用。
按照阿基米德的方法,如果不再次“犯規”,我們先以任意長度R為半徑做壹個圓O,做壹條通過圓心的直線與圓的壹邊在a點相交,然後,以圓心O為頂點做壹個任意角度BOA, 而B點在圓上,尺子繞B點轉動,我們用圓規截取尺子所在直線上的線段CD,使CD等於R,C點在圓O上,D點在直線AO上。 所以。
(1)同樣,我們作壹個半徑為R的圓O,作壹條過圓心O的直線,與C、a兩點相交,然後作任意角BOA。同時,我們連接CB。我們可以得出,BCO角等於半波角。這種方法可以使壹個角的兩個角相等。
(2)若BD截取在CD的延長線上,使BD等於R並與DO相連,即角CDO等於三分之壹角DOA。當我們找到所有的D點時,它的軌跡是壹條曲線,而(1)中提到的B點的軌跡是壹個圓。
(3)據此,我們可以從(1)想到。當尺子繞C點旋轉時,同樣,我們用圓規截取尺子所在直線上的線段DE,使DE等於圓O上的R .D點和OB上的E點。我們可以知道,角度CEO等於三分之壹角度BOA。
(4)我們繼續用同樣的方法截線,相信會有所收獲。在(2)的基礎上,我們在OD的延長線上截取線段DE,使DE等於CD。因此,角度CEO等於六分之壹角度DOA。
(5)在(4)的基礎上,截取CE延長線上的線段EF使EF等於CD,使角度CFO等於第十壹個角度FOA...在(1)的基礎上,如果只在壹條直線上截取,
1,可以在CB的延長線上截取得到。
角度CDO等於三分之壹角度DOA,角度DEO等於三分之壹角度EOA。
角度CFO等於角度FOA的九分之壹,角度CGO等於十七點。