建立微積分
在牛頓的所有科學貢獻中，數學成就占據著突出的地位。他數學生涯中的第壹個創造性成就是二項式定理的發現。據牛頓自己回憶，他是在1664和1665年冬天學習沃利斯博士的《無窮算術》時，試圖修改他的求圓面積系列時發現這個定理的。笛卡爾的解析幾何將描述運動的函數關系對應到幾何曲線上。牛頓在老師巴羅的指導下，在學習笛卡爾解析幾何的基礎上，找到了新的出路。任意時刻的速度都可以看作是壹個小時間範圍內的平均速度，是壹個小距離與壹個時間間隔的比值。當這個小時間間隔縮小到無窮大時，就是這個點的精確值。這就是差異化的概念。微積分的建立是牛頓最傑出的數學成就。牛頓創立這個與物理概念直接相關的數學理論，就是為了解決運動的問題。牛頓稱之為“流量計數”。它所處理的壹些具體問題，如切線問題、求積問題、瞬時速度問題、函數的最大值和最小值問題，在牛頓之前已經有人研究過了。但是牛頓超越了他的前輩。他從更高的角度綜合了過去零散的結論，將古希臘以來解決無窮小問題的各種技巧統壹為兩種普通算法——微分和積分，並建立了這兩種運算的互逆關系，從而完成了微積分發明中最關鍵的壹步，為現代科學的發展提供了最有效的工具，開辟了數學的新時代。牛頓沒有及時發表微積分的研究成果。他研究微積分的時間可能比萊布尼茨早，但萊布尼茨采用的表述更合理，微積分方面的著作發表的時間也比牛頓早。牛頓和萊布尼茨之間，在爭論誰是這門學科的創始人時，其實引起了軒然大波。這種爭吵在各自的學生、支持者和數學家中持續了很長時間，造成了歐洲大陸數學家和英國數學家的長期對立。英國數學有壹段時間閉關鎖國，受限於民族偏見，過於拘泥於牛頓的“流量計數”，所以數學的發展落後了整整壹百年。1707年，牛頓的代數講義整理出版，命名為《普通算術》。他主要討論了代數的基礎及其在解決各種問題中的應用。該書陳述了代數的基本概念和運算，用大量的例子說明了如何把各種問題化為代數方程，深入探討了方程的根和性質，從而在方程理論方面取得了豐碩的成果，如:他得出了方程的根與其判別式之間的關系，指出利用方程的系數可以確定方程根的冪和，即牛頓冪和公式。牛頓對解析幾何和綜合幾何都有貢獻。在1736出版的《解析幾何》中，他引入了曲率中心，給出了閉線圓(或曲線圓)的概念，提出了曲率公式和曲線的曲率計算方法。並將自己的許多研究成果總結成專著《三次曲線的計數》，發表於1704。此外，他的數學工作涉及數值分析、概率論、初等數論等多個領域。
二項式定理
1665年，年僅22歲的牛頓發現了二項式定理，這是微積分全面發展必不可少的壹步。二項式定理廣泛應用於組合論、高次冪、高階等差數列求和及差分方法中。促銷形式
二項式級數展開是研究級數理論、函數理論、數學分析和方程理論的有力工具。今天我們會發現這種方法只適用於n為正整數的情況，當n為1，2，3的正整數時，.....，該系列正好在n+1處結束。如果n不是正整數，數列不會結束，此方法不適用。但要知道，萊布尼茨是在1694年才引入函數這個詞的。在微積分的早期階段，用超越函數的層次來對待超越函數是最有效的方法。
創建微積分
牛頓在數學方面最傑出的成就是創立了微積分。他的突出成就是把古希臘以來各種解決無窮小問題的特殊技巧統壹為兩種通用算法——微分和積分，並建立了這兩種運算之間的互逆關系。比如面積計算，可以看作是求切線的逆過程。當時萊布尼茨剛剛提出微積分的研究報告，引發了微積分發明專利權的爭論，直到萊布尼茨去世。後人認為牛頓更早提出微積分的概念，但萊布尼茨的方法更完善。在微積分的方法上，牛頓極其重要的貢獻在於，他不僅清楚地看到了，而且大膽地使用了代數所提供的方法論，這是比幾何優越得多的。他用代數方法代替了卡瓦列裏、格雷戈裏、惠更斯和巴羅的幾何方法，完成了積分的代數化。此後，數學逐漸從感覺的學科轉向思維的學科。在微積分早期，因為沒有建立堅實的理論基礎，所以被壹些喜歡思考的人研究。這導致了著名的第二次數學危機。這個問題直到19世紀極限理論建立才得以解決。
方程理論和變分法
牛頓還對代數做出了經典貢獻，他的廣義算術極大地促進了方程理論。他發現實多項式的虛根必須成對出現，並發現了多項式根的上界規律。他用多項式的系數表示了多項式的根的和公式，並給出了限制實多項式虛根個數的笛卡兒符號法則的推廣。牛頓還設計了求數值方程和超越方程的實根的近似值的對數的方法。這種方法的修改現在被稱為牛頓法。牛頓在力學領域也有重大發現，力學是解釋物體運動的科學。牛頓
第壹運動定律是伽利略發現的。這個定律說明，如果壹個物體處於靜止或勻速直線運動，只要沒有外力，它就會保持靜止或繼續勻速直線運動。這個定律也被稱為慣性定律，它描述了力的壹個性質:力可以使壹個物體從靜止運動到運動，從運動到靜止，也可以使壹個物體從壹種運動形式變為另壹種運動形式。這就是所謂的牛頓第壹定律。力學中最重要的問題是物體在相似的情況下如何運動。牛頓第二定律解決了這個問題；這個定律被認為是經典物理中最重要的基本定律。牛頓第二定律定量描述了力可以改變物體的運動。表示速度的時間變化率(即加速度A與力F成正比，但與物體質量成反比，即a=F/m或F = Ma力越大，加速度越大；質量越大，加速度越小。力和加速度都有大小和方向。加速度是由力引起的，方向與力相同；如果有幾個力作用在壹個物體上，合力就會產生加速度。第二定律是最重要的，所有的冪的基本方程都可以通過微積分從中推導出來。此外，牛頓根據這兩個定律制定了第三定律。牛頓第三定律指出，兩個物體之間的相互作用總是大小相等，方向相反。對於直接接觸的兩個物體來說，這個定律更容易理解。書對子桌子的向下壓力等於桌子對書的向上支撐，即作用力等於反作用力。重力也是如此。飛行中的飛機拉起地球的力在數值上等於地球拉下飛機的力。牛頓運動定律廣泛應用於科學和動力學中。
牛頓運動定律
牛頓運動定律是艾薩克·牛頓提出的物理學三大運動定律的總稱，被視為經典物理學的基礎。牛頓第壹定律(慣性定律:所有物體在沒有任何外力的情況下總是保持勻速直線運動或靜止狀態，直到有外力迫使它們改變這種狀態。——它闡明了力與運動的關系，提出了慣性的概念)，“牛頓第二定律(物體的加速度與作用在物體上的合力F成正比，與物體的質量成反比，加速度的方向與合力的方向相同。公式:F=kma(當m的單位為kg，a的單位為m/s2時，k=1)牛頓第三定律(同壹直線上兩個物體之間的作用力和反作用力大小相等，方向相反)。)"
光學貢獻
在牛頓之前，墨子、培根、達芬奇等人都是研究光學現象的。反射定律是人們早就知道的光學定律之壹。現代科學興起時，伽利略通過望遠鏡發現了“新宇宙”，震驚世界。荷蘭數學家斯冷笑首先發現了光的折射定律。笛卡爾提出了光的粒子理論...與他幾乎同時代的牛頓、虎克、惠更斯也像伽利略、笛卡爾壹樣，懷著極大的興趣和熱情研究光學。1666年，牛頓在家休假時，得到了壹個棱鏡，他用這個棱鏡做了著名的色散實驗。壹束太陽光通過棱鏡後，被分解成幾種顏色的光譜帶。牛頓用狹縫擋板擋住了其他顏色的光，只讓壹種顏色的光通過第二個棱鏡，結果只有同色的光。就這樣，他發現了白光是由不同顏色的光組成的，這是第壹個重大貢獻。牛頓望遠鏡
為了驗證這壹發現，牛頓試圖將幾種不同的單色光組合成白光，並計算出不同顏色光的折射率，準確地解釋了色散現象。物質的顏色之謎被解開了。原來，物質的顏色是不同顏色的光在物體上的反射率和折射率不同造成的。公元1672年，牛頓在《皇家學會哲學雜誌》上發表了他的研究成果，這是他發表的第壹篇論文。許多人研究光學是為了改進折射望遠鏡。牛頓發現了白光的構成，認為折射式望遠鏡鏡片的色散現象無法消除(後來有人用不同折射率的玻璃制成的鏡片消除了色散現象)，於是設計制造了反射式望遠鏡。牛頓不僅擅長數學計算，而且能夠自己制作各種實驗設備，做精細的實驗。為了制作望遠鏡，他設計了研磨拋光機，試驗了各種研磨材料。1668年，他做出了第壹臺反射式望遠鏡樣機，這是第二大貢獻。1671年，牛頓將改進後的反射式望遠鏡贈送給皇家學會，這使他名聲大振，當選為皇家學會會員。反射望遠鏡的發明奠定了現代大型光學天文望遠鏡的基礎。同時，牛頓還進行了大量的觀測實驗和數學計算，如研究惠更斯發現的冰川石的異常折射現象、胡克發現的肥皂泡的顏色現象、牛頓環的光學現象等等。牛頓還提出了光的“粒子說”，認為光是由粒子形成的，走最快的直線運動路徑。他的“粒子論”和惠更斯的“波動論”後來形成了關於光的兩個基本理論。此外，他還制作了牛頓色輪和其他光學儀器。
建造壹座機械樓
牛頓是經典力學理論的大師。他系統地總結了伽利略、開普勒和惠更斯的工作，得到了著名的萬有引力定律和牛頓運動三定律。在牛頓之前，天文學是最突出的學科。但是為什麽行星壹定要按照壹定的規律繞太陽運行呢？天文學家無法完全解釋這個問題。萬有引力的發現表明，天上的星星和地上的物體的運動受同壹規律支配——力學規律。早在牛頓發現萬有引力定律之前，很多科學家就已經認真考慮過這個問題。例如，開普勒意識到壹定有壹種力在起作用，使行星沿著橢圓軌道運行。他認為這種力類似於磁力，就像磁鐵吸引鐵壹樣。1659年，惠更斯通過研究鐘擺的運動發現，需要壹個向心力來保持物體在圓形軌道上運動。胡克等人認為是引力，並試圖推導出引力與距離的關系。1664年，胡克發現當彗星接近太陽時，由於太陽的引力，它們的軌道是彎曲的。1673年，惠更斯推導向心力定律；1679年，胡克和哈雷從向心力定律和開普勒第三定律推導出維持行星運動的引力與距離的平方成反比。牛頓自己回憶說，1666左右，他在家鄉生活的時候就已經考慮過引力的問題。最著名的壹句話是，牛頓經常在假期裏在花園裏坐壹會兒。壹次，就像過去多次發生的那樣，壹個蘋果從樹上掉了下來...壹個蘋果的意外落地，是人類思想史上的壹個轉折點，打開了坐在花園裏的人的思維，引發他深思:所有物體幾乎都被地心吸引的原因是什麽？牛頓沈思著。最後，他發現了對人類具有劃時代意義的萬有引力。牛頓的高明之處在於，他解決了胡克等人無法解決的數學論證問題。1679年，胡克寫信給牛頓，問他能否根據向心力定律和引力與距離的平方成反比定律證明行星在橢圓軌道上運動。牛頓沒有回答這個問題。1685年，哈雷拜訪牛頓的時候，牛頓已經發現了萬有引力定律:兩個物體之間存在引力，與距離的平方成反比，與兩個物體質量的乘積成正比。當時有地球半徑、日地距離等精確數據可供計算。牛頓向哈雷證明了地球引力是使月球繞地球運動的向心力，也證明了行星運動在太陽引力作用下符合開普勒運動三定律。在哈雷的催促下，1686年底，牛頓寫出了劃時代的巨著《自然哲學的數學原理》。皇家學會資金短缺，無法出版這本書。後來，科學史上最偉大的著作之壹在哈雷的支持下於1687年出版。在這本書中，牛頓從力學的基本概念(質量、動量、慣性、力)和基本定律(運動三定律)出發，不僅從數學上論證了萬有引力定律，而且將經典力學建立為壹個完整而嚴密的體系，將天體力學與地面物體力學統壹起來。
開普勒行星運動定律的創始人約翰內斯·開普勒(Johannes kepler)於1571年出生於德國小鎮維爾德斯塔特，這壹年恰好是哥白尼發表《天球運行論》後的第28年。在這部巨著中，哥白尼提出了行星圍繞太陽轉而不是圍繞地球轉的理論。開普勒就讀於圖賓根大學，65438-0588年獲得學士學位，三年後獲得碩士學位。當時，大多數科學家拒絕接受哥白尼的日心說。在鐵賓根大學學習時，他聽到了日心說的邏輯闡述，很快就相信了。"
從蒂賓根大學畢業後，開普勒在格拉茨研究所擔任了幾年教授。在此期間，他完成了自己的第壹部天文學著作(1596)。雖然開普勒在這本書裏提出的理論是完全錯誤的，但它清楚地顯示了他的數學天賦和創造性思維，所以偉大的天文學家第谷·布拉赫邀請他到布拉格附近的天文臺做他的助手。開普勒接受了這個邀請，在1600年6月，1加入了太修的行列。第二年第谷去世。最近幾個月，開普勒給人們留下了非常好的印象，不久，聖羅馬皇帝魯道夫任命他為皇家數學家，接替第谷。開普勒在他的余生中壹直保持這個姿勢。作為第谷·布拉赫的繼任者，開普勒仔細研究了第谷多年來對行星的仔細觀察所做的大量記錄。第谷是望遠鏡發明前最後壹位偉大的天文學家，也是世界上有史以來最細心、最精確的觀測者，因此他的記錄極具價值。開普勒認為，通過對第谷的記載進行細致的數學分析，可以確定哪種行星運動理論是正確的:哥白尼日心說，古代托勒密地心說，可能是第谷本人提出的第三種理論。但開普勒經過多年苦心的數學計算，發現第谷的觀測不符合三大理論，他的希望破滅了。最後，開普勒意識到了這個問題:他和第谷、拉格茲·哥白尼以及所有經典天文學家壹樣，假設行星的軌道是由圓或者復合圓組成的。但實際上，行星的軌道不是圓形的，而是橢圓形的。1600年，開普勒出版了《夢》這本書，這是壹部純粹的幻想作品，講的是人類和月球人的交流。書裏講了很多不可思議的東西，比如噴氣推進、零重力狀態、軌道慣性、宇航服等等。人們至今不明白，開普勒在近400年前是怎麽想象這些高科技成果的。開普勒的書雖然是純玄幻，但壹定有壹些背景來源，比如畢達哥拉斯的話或者古希臘神話。就在找到基本解之後，開普勒仍然不得不花幾個月的時間進行復雜而冗長的計算，以確認他的理論與第谷的觀察壹致。他在1609年出版的巨著《新天文學》中提出了他的前兩個行星運動定律。行星運動第壹定律認為，每壹顆行星都在橢圓軌道上圍繞太陽旋轉，太陽位於這個橢圓軌道的壹個焦點上。行星運動第二定律認為，行星離太陽越近，運動越快。行星的速度以這樣壹種方式變化，即行星和太陽之間的連線以相等的時間掃過相同的區域。十年後，開普勒發表了他的行星運動第三定律:行星離太陽越遠，其運行周期越長；運行周期的平方與距太陽距離的立方成正比。開普勒定律對行星圍繞太陽的運動給出了完整而正確的描述，解決了天文學中的壹個基本問題。這個問題的答案甚至困惑了哥白尼和伽利略這樣的天才。當時，開普勒未能根據其定律解釋在軌道上運行的原因，直到17世紀後期，艾薩克·牛頓才說清楚。從開普勒對這種運動本質的研究可以看出，萬有引力定律已經成型。開普勒在萬有引力證明中已經證明，如果行星的運行軌跡是圓形的，那麽它就符合萬有引力定律。如果軌道是橢圓的，開普勒沒有證明。牛頓後來用復雜的微積分和幾何方法證明了這壹點。牛頓曾經說過:“如果我比別人看得更遠，那是因為我站在巨人的肩膀上。”開普勒無疑是他所指的巨人之壹。開普勒對天文學的貢獻幾乎可以和哥白尼相媲美。事實上，在某些方面，開普勒的成就甚至給人們留下了更深刻的印象。他更有創新精神。他面臨的數學困難相當大。當時的數學遠不如現在發達，也沒有計算機來減輕開普勒的計算負擔。從開普勒的成就的重要性來看，令人驚訝的是，他的成就起初幾乎被忽視，甚至被伽利略這樣偉大的科學家忽視(伽利略對開普勒定律的忽視尤其令人驚訝，因為他們之間有書信往來，開普勒的成就會幫助伽利略反駁托勒密的理論)。如果別人不能體會開普勒成就的意義，他自己也會明白這壹點。當他抑制不住自己巨大的喜悅時，他寫道:“我沈迷於神聖的狂喜...我的書已經寫完了。我的同時代人不會讀它，但我的後代會讀它——這沒關系。可能需要壹百年才能得到壹個讀者，就像上帝等了6000年才讓壹個人理解他的作品壹樣。”但幾十年過去了，開普勒定律的意義在科學界逐漸清晰。事實上，在17世紀後期，有壹個支持牛頓理論的主要論點，即開普勒定律可以從牛頓理論推導出來，反過來，只要牛頓運動定律存在，牛頓引力定律就可以從開普勒定律精確推導出來。但是，這需要更先進的數學技術，開普勒的時代是沒有的。即使在技術落後的情況下，開普勒也能憑借敏銳的洞察力判斷出行星運動受來自太陽的引力控制。開普勒不僅發明了行星運動定律，還對天文學做出了許多小貢獻。他還對光學做出了重要貢獻。不幸的是，他晚年為私事感到難過。當時的德國開始陷入“三十年戰爭”的混亂，很少有人能躲在世外桃源。他遇到的問題之壹是領工資。神聖羅馬帝國皇帝即使在繁榮時期也不滿地支付他的薪水。戰爭期間，開普勒的工資遲遲不能發放。開普勒結過兩次婚，有十二個孩子。這樣的財政困難真的很嚴重。另壹個問題是他媽媽在1620因為巫術被抓。開普勒花了很多時間試圖讓他的母親在不受折磨的情況下被釋放，他終於達到了目的。開普勒於1630年卒於巴伐利亞雷根斯堡。在三十年戰爭的動亂中，他的墳墓很快被毀壞了。但事實證明，他的行星運動定律是壹座比任何石碑都要長久的豐碑。
不幸的生活
1571年65438+2月27日，開普勒出生在德國威爾的壹個貧困家庭。他的祖父曾是當地有名的貴族。但開普勒出生時，他的家庭已經衰落，全家人靠經營壹家小旅館為生。開普勒是早產兒，體質差。他童年遭受了巨大的不幸。四歲時，他患了天花和猩紅熱。雖然僥幸逃過壹死，但身體嚴重受損，視力微弱，手半殘。但是開普勒有頑強的進取精神。12歲，入寺求學。放學後他幫父母管理酒店，但他壹直努力學習，成績總是名列前茅。1587年，開普勒進入鐵賓根大學。這時，新的不幸又降臨到他身上。他的父親去世了，他的母親被指控使用巫術並被監禁。可惜，生活並沒有阻止他學習。相反，他更加努力地工作。在大學學習期間，他受到了天文學教授麥斯蒂林的影響，成為了哥白尼學說的支持者，同時，他對神學的信仰也發生了動搖。開普勒在大學裏經常和同學爭論，明確支持哥白尼的立場。大學畢業後，開普勒獲得了天文學碩士學位，並被格拉茨的新教神學院聘為教師。後來因為學校被天主教會控制，開普勒離開了神學院，去了布拉格，跟隨傑出的天文觀測家第谷專心從事天文觀測。是第谷發現了開普勒的天賦。在迪古的幫助和指導下，開普勒在學習上取得了很大的進步。開普勒雖然視力不好，但是做了大量的觀測工作。1604年9月30日，蛇夫座附近出現壹顆新星，最亮時比木星還亮。開普勒對這顆新星進行了17個月的觀測，並公布了觀測結果。歷史上稱為開普勒新星(這是銀河系中的壹顆超新星)1607。他觀測到壹顆大彗星，就是後來的哈雷彗星。第谷死後，開普勒接替了他的位置，被聘為皇帝的數學家。但皇帝對他很吝嗇，只給他第谷壹半的工資，還經常拖欠。他微薄的收入不足以養活年邁的母親、妻子和孩子，生活十分艱難。然而，開普勒從未停止他的科學研究，在這種困難的環境下，他在天文學上取得了無數的成就。