行政機關不履行法定職責的處理途徑是:可以向其上級行政機關和同級人民政府申請行政復議。可以向人民法院提起行政訴訟。根據國家相關法律的規定，在辦理行政不作為案件中確立了履行判決的方式，即被告不履行或者拖延履行法定職責的，判處其在壹定期限內履行。因此，處理行政不作為案件應當有六種方式，即裁定駁回起訴、駁回訴訟請求、履行判決、確認違法、責令采取補救措施和責令賠償。裁定駁回起訴屬於程序性事項的解決。在行政不作為案件中，被告證明原告起訴已經超過法定起訴期限的，應當裁定駁回其起訴。
法律依據
《中華人民共和國勞動合同法》第九十五條勞動行政部門和其他有關主管部門及其工作人員玩忽職守、不履行法定職責或者違法行使職權，給勞動者或者用人單位造成損害的，應當承擔賠償責任；對直接負責的主管人員和其他直接責任人員，依法給予行政處分；構成犯罪的，依法追究刑事責任。