根據民事訴訟法的規定，依據審判監督權提起民事案件再審的人或者機關是:各級人民法院院長和審判委員會、上級人民法院和最高人民法院。啟動再審的機關和公職人員不同，相應地，啟動再審的具體程序也不同。
(壹)本院院長和審判委員會提出再審。
人民法院對民事案件作出的判決，壹經宣告或送達，即具有約束力，不得隨意撤銷或變更。如果裁判確有錯誤，只能通過再審程序予以糾正。本院行使審判監督權的是院長和審判委員會，他們監督本院法官和合議庭的審判工作。因此，本院院長發現已經發生法律效力的判決、裁定，認為確有錯誤需要再審的，應當提交審判委員會討論決定。決定再審的，應當裁定中止原判決、裁定的執行。
(2)最高人民法院提起再審。
根據我國民事訴訟法的規定，最高人民法院有權發回或者指令下級人民法院對地方人民法院已經發生法律效力的判決、裁定進行再審。
最高人民法院提審的，應當通知下級法院調取案卷進行審理；指令下級法院再審的，以指令送達之日為再審立案之日。下級法院接到指令後，應當啟動再審，審理後作出的判決應當報送最高人民法院。
最高人民法院提審的案件，最高人民法院自己作出裁定，中止原裁判的執行；指令下級法院再審的案件，由下級法院決定再審。至於哪些案件應當提審，哪些案件應當指令下級法院再審，民事訴訟法沒有作出規定，最高人民法院會根據具體情況選擇適用。
(三)上級人民法院提起再審。
根據我國民事訴訟法的規定，上級人民法院發現下級人民法院已經發生法律效力的判決有錯誤，有權發回或者指令下級人民法院重新審判。
上級法院決定發回重審的，應當通過下級法院提取全部案件材料，作出裁定，自行進行再審；指令下級法院再審的，應當說明情況，指出理由，並告知下級法院。下級法院接到上級法院通知後，應當根據通知進行再審，並將再審結果報告發出指令的上級法院。
法律依據:《民事訴訟法》第二百條當事人的申請有下列情形之壹的，人民法院應當再審:
(壹)有新的證據，足以推翻原判決、裁定的；
(二)原判決、裁定認定的基本事實缺乏證據證明的；
(三)原判決、裁定認定事實的主要證據是偽造的；
(四)原判決、裁定認定的事實的主要證據未經質證的；
(五)案件審理所需的主要證據，當事人因客觀原因不能自行收集，書面申請人民法院調查收集，人民法院未調查收集的；
(6)原判決、裁定適用法律確有錯誤的；
(七)審判組織的組成違法或者依法應當回避的法官未回避的；
(八)無訴訟行為能力人沒有法定代理人，或者應當參加訴訟的當事人，由於不可歸責於他或者他的訴訟代理人的事由，沒有參加訴訟的。
(九)違反法律規定，剝奪當事人辯論權利的；
(十)未經傳喚，缺席判決的；
(十壹)原判決、裁定遺漏或者超出訴訟請求的；
(十二)原判決、裁定所依據的法律文書被撤銷或者變更的；
(十三)法官在審理案件時有貪汙受賄、徇私舞弊、枉法裁判行為的。