1.申請立案監督的方式是:被害人及其法定代理人、近親屬認為公安機關應當立案偵查而不立案偵查的，或者當事人認為公安機關不應當立案偵查的，可以提供公安機關作出相應決定的法律文書、申訴材料、相關證據和身份證明，直至檢察機關提起上訴，請求檢察機關立案監督。檢察機關收到當事人的申請材料後，將及時對材料進行審查，並作出相應處理；
2.法律依據:《中華人民共和國刑事訴訟法》第十三條
沒有犯罪事實，或者犯罪情節明顯輕微，不需要追究刑事責任，或者有其他依法不追究刑事責任情形的，及時回復當事人；投訴事項不屬於公安機關管轄的，應當告知投訴人或者有管轄權的機關的行政執法機關，並建議其控告或者移送該機關；公安機關未作出不立案決定的，應當移送公安機關處理；有需要追究刑事責任的犯罪事實，屬於被投訴公安機關管轄範圍，公安機關已作出不立案決定的，應當要求公安機關書面說明不立案的理由。
二、人民檢察院如何監督案件？
1.人民檢察院發現公安機關可能有應當立案偵查而不立案偵查的情形的，應當依法進行審查；
2.人民檢察院收到申訴、舉報或者發現行政執法機關不移送涉嫌犯罪案件的，經檢察長批準，應當向行政執法機關提出檢察意見，要求其按照管轄規定將涉嫌犯罪案件移送公安機關；
3、人民檢察院負責對申訴、控告和控告進行審查，認為公安機關應當立案而不立案或者不應當立案的，應當根據事實和法律進行審查。公安機關認為有必要說明不立案或者立案理由的，應當及時將案件移送負責批捕、起訴的部門；公安機關立案或者不立案的決定正確的，應當制作相關法律文書，並答復申訴人、控告人。