數學家科利亞說過，什麽是數學？數學就是解題，就是把不熟悉的題型向熟悉的題型轉化。作為數學教師，解題能力是十分重要的。不少學校在挑選教師時，都要出幾道題讓考察對象做，以此作為錄用教師的壹個重要標準。作為學生，解題能力的高低，直接影響考試的成績。
不少教師十分重視題型教學，把各章節的習題分為若幹種題型，要求學生練好各種題型的解題套路。更有甚者，當講完壹道典型例題後，要求學生要能背誦記憶。當學生向教師請教怎樣才能學好數學時，“多做題”成了經典的回答。多做題並沒有錯，但是盲目地、過多地重復，除了做題就不知道如何學數學的人，必然會忽略數學的其它教育功能，認識不清數學的本質。
其實多數數學題都是實際問題的反應，當實際問題轉化成純數學問題後，沒有較強的解題能力會無能為力。科利亞所說的“解題”，當然也應包括解決實際問題，如果能引導學生應用已學的數學知識去解決實際問題，在做數學和用數學中不但可以提高學習的興趣，也會在數學活動的過程中學到不少知識，提高多種能力。
2、 數學是訓練思維的體操
數學是由數學、字母、符號、圖形構成的壹座迷宮。不少人愛玩迷宮遊戲，逆向思維是尋求走出迷宮正確道路的訣竅，壹旦順利走出迷宮，成功的愉悅會使妳興奮不已，妳會向新的、更復雜的迷宮挑戰，這也是數學的魅力，思維在不知不覺中得到了訓練。可以這樣說：數學是教人穎睿的壹門學科。
但是，在走迷宮中不明方法，經常碰壁失敗，也就會對這種遊戲生厭了。我們在數學中重視思維的訓練，思想和方法的潛移默化比知識的傳授更為重要。我們要讓學生經常有成功感，在快樂中研究數學。是體操就要做，是迷宮就要走。如果不動手動腦就達不到訓練思維的目的。
3、 數學是壹種語言
數學由於它自身的特點，嚴密的系統和邏輯推理，運算法則和運算性質的合理性，使它成為了壹種宇宙間的通用語言，不需要翻譯，只要用數學式的恒等變形，用數學的符號語言和圖形語言即可傳達我們的思想，達到交流的目的。
數學是精密科學和現代科技的語言，精確到何種程度，多元變量之間有什麽關系，如果沒有數學語言，很難想象科學家們怎樣把自己的思想向別人表述。
因此數學語言的培養是教學中的壹個重要內容，經常要讓學生“說數學”，數學修養好的人，不僅思維能力和思想品質上有所表現，就是講話也是簡明扼要，準確嚴密。語言只是思維的壹種載體，思維訓練是根本，但是數學語言的表達能力和轉換能力的培養也是十分重要的。
4、 數學是哲學
數學中充滿了哲學，許多數學家(比如畢達哥拉斯)也是哲學家。或者說，許多哲學觀點在數學中找到了實證，得到了體現。許多哲學家也研究數學，比如恩格斯，他寫的《自然辯證法》就是壹部傑出的數學論著。
對於世界觀還未完全形成的中學生來說，學習數學，他將受到隱藏在數字和圖形裏的哲學思想的潛移默化。作為數學教師，應該學習了解壹些哲學觀點和術語，在教學中註意揭示壹些辯證唯物觀點，不僅可以起到畫龍點睛的作用，也對學生進行了思想教育。這種教育不是空洞的說教，而有實實在在的科學例證，效果是永恒的。不少教師對這種水到渠成的機會視而不見，放棄了對學生教育的契機，也放棄了數學教育的育人性。
5、 數學是文化
數學對象並非物質世界中的真實存在，而是人類抽象思維的產物，而文化，廣義地說，是指人類在社會歷史實踐過程中所創造的物質財富和精神財富的總和，因此，在所說的意義上，數學就是壹種文化。
和很多數學家是哲學家壹樣，有很多數學家也是文學家。例如著名的童話《愛麗絲漫遊仙境》就出自英國牛津大學的壹位數學家之手。俄國著名女數學家柯瓦利夫斯卡婭不僅在數學上有很大貢獻，而且寫出了壹部被俄國文藝評論家認為“無論在形式上還是在思想內容上都可以與俄國文壇上最佳的作品相媲美”的小說《拉也夫斯卡婭姐妹》。
數學中的許多問題的發現和解決，都有深厚的文化背景，精彩的故事後面隱含著深邃的哲理。數學有著數千年的文化積澱，蕓集了大眾和數學家智慧的結晶。在我們學習數學知識時，不得不由衷地贊美人類的聰明才智。
數學教學不僅僅是傳授知識，更重要的是要向學生傳遞這些數學文化，有了這種認識，數學情景題、數學作文題也就會應運而生了。數學不只是指導著自然科學，與文學和美學也是水乳交融的。
6、 數學是藝術
數學中存在著美。數百年來流傳的“只有美的藝術，沒有美的科學”的觀念，使許多人認為數學不過是壹種有用的工具，是“科學大門的鑰匙”，僅此而已。數學中存在的美就是數學美，它是純客觀的，哪裏有數學哪裏就有數學美存在。數學的簡潔美、和諧美、對稱美、奇異美就是數學美的內容。
數學美往往展現在那些冷冰冰的數字和奇特的符號語言之中，這種冷峻的美壹點不張揚，有的人視而不見，甚至感到枯燥乏味。對於有鑒賞能力的人來說，對數學美的感悟可以震撼他的靈魂。壹旦領悟了數學美，數學再也不是枯燥無味的了，它能愉悅人的身心，陶冶人的情趣。
當我們畫出壹個美的圖形，構造出壹個美的方程，制作出壹個美的幾何體時，難道數學不是壹門藝術嗎？
如果教師在教學中能引導學生走進數學美的大花園，教給他們賞析數學美的能力，他們壹定會在數學的花園裏留連忘返的。
數學是壹門科學，它的研究對象是存在於客觀世界又超越於物質存在的數量關系，幾何體的大小、形狀、位置關系。它高度的抽象性和概括性決定了它的學習規律，應該是重視基礎，循序漸進，在實踐中學習，在應用中內化。
數學的特點是它所探求的不是某種轉瞬即逝的東西，也不是服務於某種具體物質需要的問題，而是宇宙中永恒不變的規律；它不斷追求最簡單的、最深層次的、超出人類感官所及的宇宙的根本；它不僅研究宇宙的規律，而且也研究它自己，在發揮自己力量的同時，又研究自己的局限性。數學深刻地影響人類的精神生活和物質生活，任何文明時代，數學素質都是人類素質中重要的組成部分。由數學的本質決定了數學教育在樹德育人中起著不可或缺的作用，數學思維的培養和訓練是廣才廣能的基礎和發源地。
什麽是數學？這是任何壹個數學教育工作者都應認真思考的問題。只有對數學的本質特征有比較清晰的認識，才能在數學教育研究中把握正確的方向.
1.數學，其英文是mathematics，這是壹個復數名詞，“數學曾經是四門學科：算術、幾何、天文學和音樂，處於壹種比語法、修辭和辯證法這三門學科更高的地位。”自古以來，多數人把數學看成是壹種知識體系，是經過嚴密的邏輯推理而形成的系統化的理論知識總和，它既反映了人們對“現實世界的空間形式和數量關系”的認識，又反映了人們對“可能的量的關系和形式”的認識。數學既可以來自現實世界的直接抽象，也可以來自人類思維的能動創造。
2.從人類社會的發展史看，人們對數學本質特征的認識在不斷變化和深化。“數學的根源在於普通的常識，最顯著的例子是非負整數。歐幾裏德的算術來源於普通常識中的非負整數，而且直到19世紀中葉，對於數的科學探索還停留在普通的常識，”另壹個例子是幾何中的相似性，“在個體發展中幾何學甚至先於算術”，其“最早的征兆之壹是相似性的知識，”相似性知識被發現得如此之早，“就象是大生的。”因此，19世紀以前，人們普遍認為數學是壹門自然科學、經驗科學，因為那時的數學與現實之間的聯系非常密切，隨著數學研究的不斷深入，從19世紀中葉以後，數學是壹門演繹科學的觀點逐漸占據主導地位，這種觀點在布爾巴基學派的研究中得到發展，他們認為數學是研究結構的科學，壹切數學都建立在代數結構、序結構和拓撲結構這三種母結構之上。與這種觀點相對應，從古希臘的柏拉圖開始，許多人認為數學是研究模式的學問，數學家懷特海（A. N. Whiiehead，186----1947）在《數學與善》中說，“數學的本質特征就是：在從模式化的個體作抽象的過程中對模式進行研究，”數學對於理解模式和分析模式之間的關系，是最強有力的技術。”1931年，歌德爾（K，G0de1，1978）不完全性定理的證明，宣告了公理化邏輯演繹系統中存在的缺憾，這樣，人們又想到了數學是經驗科學的觀點，著名數學家馮·諾伊曼就認為，數學兼有演繹科學和經驗科學兩種特性。
3.對於上述關於數學本質特征的看法，我們應當以歷史的眼光來分析，實際上，對數本質特征的認識是隨數學的發展而發展的。由於數學源於分配物品、計算時間、丈量土地和容積等實踐，因而這時的數學對象（作為抽象思維的產物）與客觀實在是非常接近的，人們能夠很容易地找到數學概念的現實原型，這樣，人們自然地認為數學是壹種經驗科學；隨著數學研究的深入，非歐幾何、抽象代數和集合論等的產生，特別是現代數學向抽象、多元、高維發展，人們的註意力集中在這些抽象對象上，數學與現實之間的距離越來越遠，而且數學證明（作為壹種演繹推理）在數學研究中占據了重要地位，因此，出現了認為數學是人類思維的自由創造物，是研究量的關系的科學，是研究抽象結構的理論，是關於模式的學問，等等觀點。這些認識，既反映了人們對數學理解的深化，也是人們從不同側面對數學進行認識的結果。正如有人所說的，“恩格斯的關於數學是研究現實世界的數量關系和空間形式的提法與布爾巴基的結構觀點是不矛盾的，前者反映了數學的來源，後者反映了現代數學的水平，現代數學是壹座由壹系列抽象結構建成的大廈。”而關於數學是研究模式的學問的說法，則是從數學的抽象過程和抽象水平的角度對數學本質特征的闡釋，另外，從思想根源上來看，人們之所以把數學看成是演繹科學、研究結構的科學，是基於人類對數學推理的必然性、準確性的那種與生俱來的信念，是對人類自身理性的能力、根源和力量的信心的集中體現，因此人們認為，發展數學理論的這套方法，即從不證自明的公理出發進行演繹推理，是絕對可靠的，也即如果公理是真的，那麽由它演繹出來的結論也壹定是真的，通過應用這些看起來清晰、正確、完美的邏輯，數學家們得出的結論顯然是毋庸置疑的、無可辯駁的。
4.事實上，上述對數學本質特征的認識是從數學的來源、存在方式、抽象水平等方面進行的，並且主要是從數學研究的結果來看數學的本質特征的。顯然，結果（作為壹種理論的演繹體系）並不能反映數學的全貌，組成數學整體的另壹個非常重要的方面是數學研究的過程，而且從總體上來說，數學是壹個動態的過程，是壹個“思維的實驗過程”，是數學真理的抽象概括過程。邏輯演繹體系則是這個過程的壹種自然結果。在數學研究的過程中，數學對象的豐富、生動且富於變化的壹面才得以充分展示。波利亞（G. Poliva，1888壹1985）認為，“數學有兩個側面，它是歐幾裏德式的嚴謹科學，但也是別的什麽東西。由歐幾裏德方法提出來的數學看來象是壹門系統的演繹科學，但在創造過程中的數學看來卻像是壹門實驗性的歸納科學。”弗賴登塔爾說，“數學是壹種相當特殊的活動，這種觀點“是區別於數學作為印在書上和銘，記在腦子裏的東西。”他認為，數學家或者數學教科書喜歡把數學表示成“壹種組織得很好的狀態，”也即“數學的形式”是數學家將數學（活動）內容經過自己的組織（活動）而形成的；但對大多數人來說，他們是把數學當成壹種工具，他們不能沒有數學是因為他們需要應用數學，這就是，對於大眾來說，是要通過數學的形式來學習數學的內容，從而學會相應的（應用數學的）活動。這大概就是弗賴登塔爾所說的“數學是在內容和形式的互相影響之中的壹種發現和組織的活動”的含義。菲茨拜因（Efraim Fischbein）說，“數學家的理想是要獲得嚴謹的、條理清楚的、具有邏輯結構的知識實體，這壹事實並不排除必須將數學看成是個創造性過程：數學本質上是人類活動，數學是由人類發明的，”數學活動由形式的、算法的與直覺的等三個基本成分之間的相互作用構成。庫朗和羅賓遜（Courani Robbins）也說，“數學是人類意誌的表達，反映積極的意願、深思熟慮的推理，以及精美而完善的願望，它的基本要素是邏輯與直覺、分析與構造、壹般性與個別性。雖然不同的傳統可能強調不同的側面，但只有這些對立勢力的相互作用，以及為它們的綜合所作的奮鬥，才構成數學科學的生命、效用與高度的價值。”
5.另外，對數學還有壹些更加廣義的理解。如，有人認為，“數學是壹種文化體系”，“數學是壹種語言”，數學活動是社會性的，它是在人類文明發展的歷史進程中，人類認識自然、適應和改造自然、完善自我與社會的壹種高度智慧的結晶。數學對人類的思維方式產生了關鍵性的影響．也有人認為，數學是壹門藝術，“和把數學看作壹門學科相比，我幾乎更喜歡把它看作壹門藝術，因為數學家在理性世界指導下（雖然不是控制下）所表現出的經久的創造性活動，具有和藝術家的，例如畫家的活動相似之處，這是真實的而並非臆造的。數學家的嚴格的演繹推理在這裏可以比作專門註技巧。就像壹個人若不具備壹定量的技能就不能成為畫家壹樣，不具備壹定水平的精確推理能力就不能成為數學家，這些品質是最基本的，……，它與其它壹些要微妙得多的品質***同構成壹個優秀的藝術家或優秀的數學家的素質，其中最主要的壹條在兩種情況下都是想象力。”“數學是推理的音樂，”而“音樂是形象的數學”．這是從數學研究的過程和數學家應具備的品質來論述數學的本質，還有人把數學看成是壹種對待事物的基本態度和方法，壹種精神和觀念，即數學精神、數學觀念和態度。尼斯（Mogens Niss）等在《社會中的數學》壹文中認為，數學是壹門學科，“在認識論的意義上它是壹門科學，目標是要建立、描述和理解某些領域中的對象、現象、關系和機制等。如果這個領域是由我們通常認為的數學實體所構成的，數學就扮演著純粹科學的角色。在這種情況下，數學以內在的自我發展和自我理解為目標，獨立於外部世界，…，另壹方面，如果所考慮的領域存在於數學之外，…，數學就起著用科學的作用…·，數學的這兩個側面之間的差異並非數學內容本身的問題，而是人們所關註的焦點不同。無論是純粹的還是應用的，作為科學的數學有助於產生知識和洞察力。數學也是壹個工具、產品以及過程構成的系統，它有助於我們作出與掌握數學以外的實踐領域有關的決定和行動…·，數學是美學的壹個領域，能為許多醉心其中的人們提供對美感、愉悅和激動的體驗…·，作為壹門學科，數學的傳播和發展都要求它能被新壹代的人們所掌握。數學的學習不會同時而自動地進行，需要靠人來傳授，所以，數學也是我們社會的教育體系中的壹個教學科目．”
從上所述可以看出，人們是從數學內部（又從數學的內容、表現形式及研究過程等幾個角度）。數學與社會的關系、數學與其它學科的關系、數學與人的發展的關系等幾個方面來討論數學的性質的。它們都從壹個側面反映了數學的本質特征，為我們全面認識數學的性質提供了壹個視角。
6.基於對數學本質特征的上述認識，人們也從不同側面討論了數學的具體特點。比較普遍的觀點是，數學有抽象性、精確性和應用的廣泛性等特點，其中最本質的特點是抽象性。A，。亞歷山大洛夫說，“甚至對數學只有很膚淺的知識就能容易地覺察到數學的這些特點：第壹是它的抽象性，第二是精確性，或者更好他說是邏輯的嚴格性以及它的結論的確定性，最後是它的應用的極端廣泛、性，”「5」王粹坤說，“數學的特點是：內容的抽象性、應用的廣泛性、推理的嚴謹性和結論的明確必”這種看法主要從數學的內容、表現形式和數學的作用等方面來理解數學的特點，是數學特點的壹個方面。另外，從數學研究的過程方面、數學與其它學科之間的關系方面來看，數學還有形象性、似真性、擬經驗性。“可證偽性”的特點。對數學特點的認識也是有時代特征的，例如，關於數學的嚴謹性，在各個數學歷史發展時期有不同的標準，從歐氏幾何到羅巴切夫斯基幾何再到希爾伯特公理體系，關於嚴謹性的評價標準有很大差異，尤其是哥德爾提出並證明了“不完備性定理…以後，人們發現即使是公理化這壹曾經被極度推崇的嚴謹的科學方法也是有缺陷的。因此，數學的嚴謹性是在數學發展歷史中表現出來的，具有相對性。關於數學的似真性，波利亞在他的《數學與猜想》中指出，“數學被人看作是壹門論證科學。然而這僅僅是它的壹個方面，以最後確定的形式出現的定型的數學，好像是僅含證明的純論證性的材料，然而，數學的創造過程是與任何其它知識的創造過程壹樣的，在證明壹個數學定理之前，妳先得猜測這個定理的內容，在妳完全作出詳細證明之前，妳先得推測證明的思路，妳先得把觀察到的結果加以綜合然後加以類比．妳得壹次又壹次地進行嘗試。數學家的創造性工作成果是論證推理，即證明；但是這個證明是通過合情推理，通過猜想而發現的。只要數學的學習過程稍能反映出數學的發明過程的話，那麽就應當讓猜測、合情推理占有適當的位置。”正是從這個角度，我們說數學的確定性是相對的，有條件的，對數學的形象性、似真性、擬經驗性。“可證偽性”特點的強調，實際上是突出了數學研究中觀察、實驗、分析。比較、類比、歸納、聯想等思維過程的重要性。
綜上所述，對數學本質特征的認識是發展的。變化的，用歷史的、發展的觀點來看待數學的本質特征，恩格斯的“純數學的對象是現實世界的空間形式和數量關系”的論斷並不過時，對初等數學來說就更是如此，當然，對“空間形式和數量關系”的內涵，我們應當作適當的拓展和深化。順便指出，對數學本質特征的討論中，采取現象與本質並重、過程與結果並重、形式與內容並重的觀點：，對數學教學具有重要的指導意義。