根據《中華人民共和國森林法》第二十七條:
農村居民在房前屋後、自留地、自留山上種植的樹木，歸個人所有。城鎮居民和職工在自己房屋的庭院內種植的樹木，歸個人所有。所以棗樹屬於種植者或者種植者的繼承人。只有主人有權處理棗樹。
根據《森林法》第32條:
采伐林木必須申請采伐許可證，並按許可證的規定進行采伐；農村居民砍伐自家房前屋後的自留地和個人所有的零星樹木。因此，棗樹不需要許可證就可以砍伐，也沒有規定林星的樹被砍伐後必須種植新樹。
擴展數據:
福建省上杭縣人民法院3日披露，被告人羅某因擅自砍伐自家樹木，被判處罰金人民幣17000元，沒收違法所得人民幣13000元。
2012 10被告人羅某到林業主管部門辦理采伐許可證手續。為了達到采伐後批準的株數，我們從2013起雇傭他人攜帶采伐許可證規定範圍以外的電鋸等工具到自己的山場砍伐樹木，並將砍伐的樹木出售。
認定在羅某自己的山場砍伐松樹89棵、杉木7棵，累計立木22.9446立方米。案發後，被告人羅某到森林派出所投案自首。
法院經審理認為，被告人羅違反森林保護法律法規，超越林木采伐許可證規定的範圍，擅自砍伐自有林木蓄積立木22.9446立方米。數量多，事實清楚，證據充分。他的行為構成了濫伐林木罪。鑒於其案發後自動投案，如實供述自己的罪行，系自首，可從輕或減輕處罰。
人民網-無證砍伐私人樹木也是犯罪。