排隊論；隨機模型；醫院管理
醫院是壹個復雜的系統。當對壹項服務的現有需求超過了提供該項服務的現有能力時，從患者掛號、看病、收費、取藥的每壹個服務機構都會出現排隊現象。由於患者到達時間和診療所需時間的隨機性，排隊幾乎是不可避免的。診室不足時，患者往往排隊時間過長，滿意度會下降，醫護人員會忙得不可開交，容易出不去。因此，如何合理科學地安排醫護人員及其醫療設備，使醫院不至於盲目增加醫生和設備造成不必要的閑置和資源浪費，盡可能減少患者排隊等候時間。如何在兩者之間取得平衡，以提高服務質量和降低服務成本，是現代醫院管理者必須面對的課題。
排隊理論模型是用數學方法定量地、動態地模擬客觀復雜的排隊系統的結構和行為，科學地、準確地描述排隊系統的概率規律。排隊論也是運籌學的壹個重要分支[1，2]。在醫院管理中，如果根據排隊論對醫院門診和診室排隊系統的結構和行為進行科學的模擬和系統的研究。從而優化診室和醫生的安排，獲得反映系統本質特征的量化指標結果，進行預測、分析或評估，最大程度滿足患者及家屬的需求，有效避免資源浪費。
1隨機模型
1.1系統描述
以醫院門診為研究對象，它具有以下特點:
①輸入過程:患者的到達是相互獨立的，連續到達的時間間隔是隨機的；某壹時刻的到來服從泊松分布。
②排隊規則:服務以先到先得為原則，並且是等待制，即患者到達時所有診室和醫生都不在，要排隊等候。
③服務時間:患者診療時間相互獨立，服從負指數分布。
④服務窗口:多個服務臺，平行排列C個服務臺，每個服務臺獨立工作。
1.2模型的假設與建立
假設患者平均到達率為λ，單個服務臺的平均服務率(表示單位時間服務的患者數)為μ，整個服務機構的平均服務率為cμ；系統的使用強度ρ = λ/cμ
P0(c)=〖c-1k = 01k！(λμ)k+1c！1(1-ρ)(λμ)c〕1(1)
pn(c)=1n！(λμ)np0(c)，n=1，2，…，c
1c！cn-c (λμ)np0(c)，n=c+1，…(2)
當系統達到平衡狀態時，系統中每個病人的平均等待時間w為:
E(W)=pn(c)cμ(1-ρ)2=nμn！(nμ-λ)2 (λμ)np0(c)(3)
排隊人數Ls=Lq+cρ=1c！(cρ)cρc！(1-ρ)2p0+λμ(4)
1.3排隊系統的優化
在排隊系統中，患者希望服務臺越多，服務效率越高，停留時間越短，從而將自己的損失降到最低。所以醫院需要增加醫生和設備，醫院不能無限投入。因此，需要優化設計，其目的是使患者損失成本和醫院服務成本之和最小化。假設服務臺數量為C，cs為單位時間內服務臺的費用，cw為單位時間內每個患者在系統內停留的費用，總費用Z(c)(單位時間內的期望總費用，是服務臺數量的函數)，目標函數minz(c)=Csc+CwLs(c)，其中Ls為停留人數(公式(4))，C只能取。
z(c *-1)≤z(c *)= CSC *+cwLs(c *)≤z(c *+1)，Ls=Ls(c)
簡化為LS(c *)-LS(c *+1)≤CSCW≤LS(c *-1)-LS(c *)(5)
通過計算機模擬，兩個相鄰項LS (1)，LS (2)，LS (3)，...依次計算，常數落在兩者之間，從而確定使患者損失成本和醫院服務成本之和達到最優服務臺數量C的最優解C*。
1.4服務方案優化
當患者平均到達率增加時，服務強度增加，導致平均排隊長度L過大，甚至因為服務強度ρ>；當1使組長趨於無窮大時，服務臺只能在平均服務率不變的情況下添加。讓我們討論有兩個服務臺並且它們的平均服務率相等的情況。
兩個服務臺有兩種形式的排隊服務，如下圖所示:
在圖1中，只有壹個隊伍是M/M/2型號，而在圖2中，兩個隊伍是壹字排開的，加入隊伍後不能換隊，所以是兩個M/M/1型號。
圖1(略)
圖2(略)
我們可以知道兩個服務臺的兩種服務形式的平均排隊長度L和等待時間W為:
2 l 1 L2 = w 1 w2 = 1+ρ2(ρ2 =λ2μ& lt；1)
就等待時間而言，是1。
同理可以證明，在有多個平行服務臺的排隊系統中，單隊列排列的方案比平行多隊列排列的方案具有明顯的優勢。對於設置多個等待者的隨機流程，如果只考慮等待時間，患者應該只能排隊。
2實例分析
為掌握某醫院手術室隨機服務情況，統計了100h患者就診及手術數據，如下表所示:(略)
①計算相應的量化指標；
②如果醫院還想建同樣規模的手術室，請問合理嗎？
借助MATLAB軟件:
1)首先計算平均到達率λ=∑NFN/100 = 210/100 = 2.1(h/人)，平均運行時間為1/μ = ∑ VFV/650。χ2 =∑6n = 0(fn-100 pn)100 pn用於檢驗平均到達率λ=2.1是否符合泊松分布；
計算χ2=3.06，取α=0.05為臨界值χ2α=11，因為χ2α= 11 & gt；χ2=3.06，所以受理到達率服從參數λ=2.1的泊松分布。同樣，可以驗證操作時間服從參數2.5的指數分布。采用上述公式的排隊系統的主要定量指標如下:
系統病人數5.25(人)，排隊病人數4.41(人)，病人住院時間2.5 (h)，排隊等候時間2.1 (h)，服務強度ρ=λ/μ=0.84，病人時間損失系數5.25，手術室空閑時間概率0.16，忙時概率pn =
②計算服務強度ρ = λ/cμ = 0.42
系統內患者人數為1.02(人)。排隊患者數為0.18(人)。病人的住院時間為0.48小時。排隊等候時間為0.08小時。兩間手術室閑置的概率是0.4。只有壹間手術室閑置的概率是p1=0.34。病人不用等的概率是0.74。病人不得不等待的概率是0.26。
根據以上數據指標可以得出，僅科室壹個手術室的患者等待時間就是手術的5.25倍；手術室84%的時間是忙的，只有16%是閑的。如果再增加壹個手術室，被使用的概率是42%，閑置的概率是58%，兩個手術室閑置的概率是0.4，兩個手術室只有壹個閑置的概率是34%。根據以上數據，決策者可以決定是否增設手術室，從而為管理者提供決策支持工具。
3結論
排隊住院治療是普遍現象。由於病人到達和醫療服務時間的隨機性，病人的來源數量理論上是無限的，而醫療資源是有限的。如何利用上述排隊模型理論和計算機模擬，結合患者服務記錄獲得的相關數據，做出定性和定量的量化指標，進而進行預測、分析和評價，通過優化設計實施動態管理，根據醫院實力，完善設施設備，合理增加醫護人員數量，提高醫生診療技術水平，有效縮短平均診療時間及其波動，提高效率，縮短等待時間，統壹診療流程，為患者排憂解難。顯然，排隊論的應用壹方面可以有效地解決醫院服務系統的人員和設備配置問題，為醫院管理提供可靠的決策依據；另壹方面，通過系統優化，找到患者和醫院之間的平衡點，既減少了患者排隊等候時間，又不浪費醫院人力物力，從而獲得最大的社會效益和經濟效益。
參考
1韓。管理運籌學。北京:高等教育出版社，2005，307 ~ 322。
2蔣啟元。數學模型。北京:高等教育出版社，1993，456 ~ 467。
3卞福平、侯文華、梁鳳珍。數學模型方法和算法。北京:高等教育出版社，2005，262 ~ 276。