羅素悖論的故事

1900左右，數學集合論中出現了三個著名的悖論，巴伯悖論是羅素悖論的通俗表達。此外，還有康托爾悖論和布萊-福爾西悖論。這些悖論，尤其是羅素悖論，在當時的數學和邏輯界引起了極大的震動。引發了數學的第三次危機。悖論我們先來了解什麽是悖論。Paradox來源於希臘語“para+dokein”，意思是“多思考”。這個詞的含義是豐富的，包含了所有與人的直覺和日常經驗相矛盾的數學結論，那些結論會讓我們驚嘆不已。悖論是壹個矛盾的命題。即如果這個命題被承認，就可以推斷其否定命題成立；另壹方面，如果承認了這個命題的否定命題，就可以推導出這個命題成立。如果承認是真的，經過壹系列正確的推理，得出結論是假的；如果妳承認它是假的，經過壹系列正確的推理，它就是真的。古今中外有許多著名的悖論，它們沖擊了邏輯和數學的基礎，激發了人們的求知和精確思維，引起了古往今來許多思想家和愛好者的關註。解決悖論問題需要創造性思維，而悖論的解決往往能給人帶來新的思路。悖論有三種主要形式。1.壹個斷言看似肯定是錯的，其實是對的(悖論)。2.壹個斷言看似肯定是對的，其實是錯的(似是而非的理論)。壹系列的推理看似無懈可擊，卻導致邏輯矛盾。羅素悖論的定義:m:所有包含集合本身的集合；n:不包含集合本身的所有集合；問:N∈M還是N？如果N ∈M，則說明N具有M的特征，根據M的定義，N包含集合本身，但這與N的定義相矛盾；如果N ∈N，說明N有自己的特點，與N的定義相矛盾；但是m+n遍歷所有集合域，所以n不是空集。於是，悖論產生了。羅素悖論的例子:世界文學巨著《堂吉訶德》中有壹個故事:堂吉訶德的仆人桑丘·潘沙跑到壹個島上，成了島上的國王。他制定了壹條奇怪的法律:每個到達這個島上的人都必須回答壹個問題:“妳在這裏做什麽？”如果答案是對的，就讓他上島玩，如果答案是錯的，就吊死他。對於每壹個來到島上的人來說，他們要麽找樂子，要麽被絞死。有多少人敢冒著生命危險在這個島上玩？壹天，壹個大膽的人來了。照例問他這個問題，那人的回答是:“我是來吊死的。”請問桑丘·潘沙是讓他在島上玩還是吊死他？如果他應該被允許在島上玩，這與他所說的“被絞死”是不壹致的，也就是說，他所說的“被絞死”是錯誤的。既然他錯了，他就應該被絞死。但是如果桑丘·潘沙想絞死他呢？這個時候他說的“要被絞死”是符合事實的，是正確的。既然他答對了，就不應該被絞死，而應該讓他在島上玩。這個島的國王發現他的法律無法執行，因為無論如何執行，都會被摧毀。他想了又想，最後讓警衛放了他，宣布法律無效。這又是壹個悖論。著名數學家伯特蘭·羅素(Russel，1872-1970)提出的悖論也類似:某城市有壹個理發師，他的廣告是這樣寫的:“我的理發技術高超，全城聞名。我會給這個城市裏所有自己不刮胡子的人刮胡子，我只會給這些人刮。我向大家表示熱烈的歡迎！”人家來找他刮胡子，自然是自己不刮的人。然而，有壹天，理發師在鏡子裏看到他的胡子長了。他本能地抓起剃刀。妳覺得他能自己刮胡子嗎？如果他不自己刮胡子，那他就屬於“不自己刮胡子的人”，他得自己刮。如果他自己刮胡子呢？他屬於“自己刮胡子的人”，不應該自己刮。巴伯悖論和羅素悖論是等價的。因為，如果把每個人都看成壹個集合，那麽這個集合的元素就被定義為這個人剃的對象。然後，理發師聲稱，他的元素就是村裏所有不屬於他的那些藏品，村裏所有不屬於他的藏品。那麽他屬於自己嗎？由此，從巴伯悖論中得出了羅素悖論。逆向轉化也是如此。受19世紀下半葉的影響，康托爾創立了著名的集合論，該理論剛產生時就遭到了許多人的嚴厲抨擊。但很快這壹開創性的成果就被廣大數學家所接受，並贏得了廣泛而高度的贊譽。數學家發現，從自然數和康托爾的集合論出發，整個數學大廈就可以建立起來。因此，集合論成了現代數學的基石。“壹切數學成就都可以基於集合論”的發現讓數學家們陶醉。1900年，在國際數學家大會上，法國著名數學家龐加萊興高采烈地宣稱:“……借助集合論的概念，我們可以建造整個數學大廈……今天，我們可以說已經達到了絕對的嚴格……”然而好景不長。1903，壹個震驚數學界的消息出來了:集合論有缺陷！這就是英國數學家羅素提出的著名的羅素悖論。羅素悖論引發集合論危機。非常簡單易懂，只涉及集合論中最基本的東西。所以羅素悖論壹提出就在當時的數學界和邏輯界引起了極大的震動。德國著名邏輯學家弗裏斯在他的《集合論基礎》完成付印時，收到了羅素關於這個悖論的信。他馬上發現，自己忙活了很久的壹系列成果，都被這個悖論搞砸了。他只能在書的結尾寫道:“壹個科學家最糟糕的事情，就是在他的工作即將完成的時候，發現自己工作的基礎已經崩塌。”1874年，德國數學家康托爾創立了集合論，集合論很快滲透到大多數分支，成為他們的基礎。到19年底，幾乎所有的數學都是基於集合論的。這時集合論中出現了壹些相互矛盾的結果，尤其是羅素在1902中提出的《理發師的故事》中反映的悖論，極其簡單明了，通俗易懂。這樣壹來，數學的基礎被動地發生了動搖，這就是所謂的第三次“數學危機”。羅素悖論發表後，發現了壹系列悖論(後被歸類為所謂的語義悖論):1，理查德悖論2，佩裏悖論3。格林和納爾遜悖論。解決羅素悖論，危機過後數學家們紛紛提出了自己的解決方案。希望通過限制集合的定義來改造康托的集合論，消除悖論，這就需要建立新的原則。“這些原則必須足夠狹窄，以確保消除所有的矛盾；另壹方面，它必須足夠寬泛，以便康托爾集合論中所有有價值的內容都可以保留下來。”1908年，澤梅洛在自己原理的基礎上提出了第壹個公理集合論體系，後來這個公理集合論體系在很大程度上彌補了康托爾樸素集合論的缺陷。除了ZF系統，集合論還有許多公理系統，如Neumann等人提出的NBG系統。公理化集合系統的建立成功地排除了集合論中的悖論，從而成功地解決了第三次數學危機。但另壹方面，羅素悖論對數學的影響更為深遠。它使數學的基本問題第壹次以最迫切的需求擺在數學家面前，引導數學家去研究數學的基本問題。這方面的進壹步發展深刻地影響了整個數學。比如圍繞數學基礎的爭論，在現代數學史上形成了三個著名的數學學派，每個學派的工作都推動了數學的大發展。以上簡單介紹了數學史上三次由悖論引發的數學危機和經歷，從中我們不難看出悖論對數學發展的巨大推動作用。有人說，“提出壹個問題就是解決了壹半”，悖論正是數學家無法回避的。它對數學家說:“解決我，否則我會吞下妳的系統！”"正如希爾伯特在《論無限》壹文中指出的那樣:"必須承認，面對這些悖論，我們目前所處的局面是不能長期容忍的。人們想象在數學這個被稱為可靠性和真值的模型中，每個人都學過、教過、應用過的概念結構和推理方法會導致不合理的結果。如果連數學思維都失敗了，我們該去哪裏尋找可靠性和真實性？“悖論的出現迫使數學家投入最大的熱情去解決它。在解決悖論的過程中，各種理論應運而生:第壹次數學危機導致公理幾何和邏輯的誕生；第二次數學危機促進了分析基礎理論的完善和集合論的建立；第三次數學危機促進了數理邏輯的發展和壹批現代數學的出現。數學由此蓬勃發展，這可能就是數學悖論的意義所在，羅素悖論在其中發揮了重要作用。理性無法回答關於自身的問題，這是康德時代發現的。邏輯上有不可彌補的漏洞，但卻是人們認識世界的必經之路。最後妳會發現，要麽妳否定理性，要麽妳否定信仰。因為所謂唯心主義和唯物主義的鬥爭，就是建立在這樣壹個不完整的邏輯體系之上的純理性科學。既然理性不能自我判斷，那麽立場的選擇就不能建立在理性的基礎上，從而成為壹種本質上的迷信。當然，如果妳堅持自己的立場是符合所謂的科學或者實踐的，那麽其實妳既不是唯物主義者，也不是唯心主義者，本質上只是壹種泛經驗主義或者泛邏輯主義。當然，這裏的邏輯主義當然不是羅素的，只是壹個形象點。